Resurgo eadem mutata
Verwandelt kehr‘ ich als dieselbe wieder
Jacob Bernoulli
Jacob Bernoulli (1655 – 1705) meinte mit dem Zitat die mathematischen Eigenschaften der logarithmischen Spirale. Die Spirale ist unendlich lang. Sie windet sich unendlich um ihre Mitte, die sie aber nie erreicht und sie erstreckt sich in unendliche Ferne nach außen und ins unendlich Kleine nach innen. Wir können also von dieser Kurve immer nur einen Ausschnitt darstellen. Welchen Ausschnitt wir aber wählen, diese Kurve sieht – bei gleicher Steigung – stets gleich aus.
Das Zitat des genialen Mathematikers könnte sich noch auf etwas anderes beziehen. Es sind zwei philosophische Gedanken, die sich aufdrängen. Ob wir nun Schnecken betrachten oder einen Wirbelsturm aus der Perspektive eines Satelliten, die Logarithmische Spirale liegt beidem zugrunde. Die Wandlung der mathematischen Kurve vom Schneckenhaus zum Wirbelsturm führt zu einer Veränderung der Größe, aber nicht der Form:
„Verwandelt kehr ich als dieselbe wieder“
Lediglich die Richtung der Windung ist beim Wirbelsturm anders als bei einer Schnecke. Der Wirbelsturm behält seine nach rechts gewundene Form wegen der Corioliskraft auf der nördlichen Hemisphäre der Erde. Fast alle Schnecken und Muscheln sind hingegen Links gewunden.
Auch Schnecken und Muscheln bilden die Form logarithmischer Spiralen aus. Der Grund liegt in dem konstanten prozentualen Wachstum. Diese Spirale ist quasi die aufgerollte Form (Polarkoordinaten) der sogenannten Exponentialfunktion. In den Bildern ist jeweils blau unterlegt die Steigung der Spirale angegeben. Diese Steigung bestimmt die Form der Spirale und mit dieser lassen sich alle Schnecken und Muscheln in ihrer Form annähern.
Die logarithmische Spirale beruht auf der Exponentialfunktion und die ist nichts weiter als eine Zinseszinsfunktion. Beginnend mit einem Zinsfuß von sagen wir 100 Euro wird jedes Jahr ein Zins vereinbart. Ergibt sich im ersten Jahr – bei positivem Realzins – ein Gewinn, so wird der im Folgejahr mit verzinst. Das Wachstum beträgt stets einen konstanten Wert von x Prozent. Weil die Zinsen immer mit verzinst werden, wächst der Wert bei positivem Realzins exponentiell, wie eine Lawine (Lawinenfunktion).
Führt man anstatt eine Zinsperiode einen stetigen Zins ein, so gelangt man zur Eulerzahl e = 2,71… Sie ist die Basis der Exponentialfunktion wie auch der logarithmischen Spirale. Euler benannte die Zahl als Erster mit „e“, Bernoulli aber entdeckte die Zahl vor Euler als Grenzwert einer stetigen Verzinsung. Siehe dazu den Aufsatz von Wilhelm Sternemann: Zwischenzeitlicher Zins im 17. Jahrhundert bei Leibniz und Bernoulli
In der Natur gibt es ein lawinenartiges Wachstum nur für einen eng begrenzten Zeitraum. Die Lebensformen streben einem Maximum zu und beenden ihr Wachstum in einer für sie typischen Form und Größe. Jeder Baum, jeder Strauch, jede Blume hat eine für ihre Art typische Größe wie auch die Tiere. Bei Mikroorganismen und Kleintieren sorgen Feinde dafür, dass sie nicht überhand nehmen, Im Körper ist es das Immunsystem, das für Eindämmung sorgt.
Kehren wir zurück zur unbelebten Welt. Es ist die Physik der Wirbel, welche zeigt, dass alle Flüssigkeits- und Luftwirbel logarithmische Spiralen ausbilden. Daher ist es von der klassischen Physik her vollkommen klar, dass Wirbelstürme von oben gesehen wie logarithmische Spiralen aussehen. Es gibt dafür einen physikalisch belegten Grund. Bei den lebenden Formen können wir davon ausgehen dass das prozentuale Wachstum dafür sorgt, dass es zu dieser Art von Spiralbildungen kommt.
Nicht nur Luft, auch Wasser bildet logarithmische Spiralen, wenn ein Energiegefälle auftritt.
Der Goldene Schnitt und die logarithmische Spirale oder: Wenn man einen Irrtum oft genug wiederholt, wird er schließlich zur Wahrheit
Das gilt selbstredend auch für Lügen, die wenn oft genug wiederholt zur Wahrheit werden, das heißt, sie werden von jedermann als wahr angenommen. Das gilt auch im Zusammenhang mit logarithmischen Spiralen und dem Goldenen Schnitt. Der Goldene Schnitt in Form eines Rechtecks, dessen Seiten sich im Goldenen Schnitt verhalten, nennt man goldenes Rechteck. In ein solches Rechteck lässt sich eine logarithmische Spirale einzeichnen. Eine solche Spirale kommt aber im Wachstum von Schnecken und Muscheln nicht vor. Anders gesagt, diese Lebewesen haben keinerlei Grund, um genau diese Spirale unter Tausenden zu wählen.
Weder die Nautilus, noch andere Schnecken oder Muscheln wachsen, einer Spirale folgend, deren Steigung den Wert 0,306348 .. hätte. Selbst ein so bekannter Astronom wie Harald Lesch erzählt uns in der renommierten Serie Terra X leider Bullshit. Nein, die Nautilus wächst nicht im Verhältnis 1: 1,618 … (Goldener Schnitt), wie in der Sendung Terra X, „Kann man die Natur vermessen?“ von Harald Lesch, behauptet. Dazu gibt es einiges vorzubringen.
Genauso sind die häufig zitierten Nautilus-Muscheln, Schnecken usw. meist keine idealen „Goldenen Spiralen“.
Scinelion
Die gekammerter Nautilus, Nautilus Pompilius, auch genannt perlige Nautilus, ist die bekannteste Art von Nautilus. Die Schale zeigt, wenn sie weggeschnitten wird, eine Auskleidung aus glänzendem Perlmutt und zeigt eine fast perfekte gleichwinklige Spirale, obwohl es keine goldene Spirale ist.
Enzyklopädie Wiki
Ich habe mir die Mühe gemacht das auch mal zu zeigen und versucht eine Goldene Spirale um eine Nautilus anzuordnen.
Wie man sieht, gelingt es nicht, eine Goldene Spirale so anzuordnen, dass sie sich an eine Nautilus anschmiegt. Aber es gelingt, eine logarithmische Spirale mit einer anderen Steigung einer Nautilus anzuschmiegen.
Die Steigung 0,17 ist also nicht diejenige Steigung einer Goldenen Spirale mit 0,306348 … Das bedeutet: Die Goldene Spirale ist eine logarithmische Spirale mit einer spezifischen Steigung und sie kommt in der Natur auch vor, aber nicht bei Schnecken, Muscheln oder der Nautilus.
Nicht nur Blütenkelche und Knospen weisen Spiralmuster auf, sondern auch die Nadeln an den Kiefernzweigen und anderen Nadelbäumen sind in Mustern mit rechts– und linksläufigen Spiralen angeordnet. In der Botanik gibt es drei Arten der Blattstellung.
– Die Dekussation (kreuzständige Blattstellungen).
– Die Distichie (zweizeilige Beblätterung)
– Die Dispersion (Spiralig angeordnet)
Diese spiraligen Blatt- oder Knospenanordnungen besitzen die angeführten Spiralmuster mit jeweils einer bestimmten Anzahl von rechts und links gewundenen Spiralen und diese Zahlen bilden die sogenannte Fibonacci-Folge. Zwei aufeinander folgende Werte bilden einen Quotienten, der immer genauer den Goldenen Schnitt annähert. Von daher kommen die wunderbaren logarithmischen Spiralen bei Sonnenblumen.
Siehe dazu: Paradiesgarten der Harmonik
Und: Die vollkommene Zahl des Mikrokosmos
Der Grund, warum Pflanzen solche logarithmische Spiralen ausbilden und wie sie das tun ist noch unbekannt. Das Argument, sie bekämen durch die wechselständigen Blattstellungen mehr Licht als andere, ist nicht stichhaltig, denn es gibt nicht mehr Pflanzen mit wechselständigen Blattstellungen als andere Arten. Wenn sie also Vorteile hätten, müssten sie sich stärker vermehrt haben als andere, was nicht der Fall ist.
Resurgo eadem mutata
Verwandelt kehr‘ ich als dieselbe wieder
Jacob Bernoulli
Dieses Zitat werde ich nicht los. Ich denke darüber nach, ob die Natur vorher da war, oder die Mathematik, die der Natur zugrunde liegt. War sie vorher da, so ergäbe sie keinen Sinn, denn ohne eine Gestalt und Anwendung macht Mathematik keinen Sinn. Wenn sie sich gleichzeitig mit der Natur entwickelte, dann war Mathematik im Anbeginn der Schöpfung vorhanden.
Ich bin eingesetzt von Ewigkeit, von Anfang vor der Erde.
Da die Tiefen noch nicht waren, da war ich schon bereitet, da die Brunnen noch nicht mit Wasser quollen,
Ehe denn die Berge eingesenkt waren, vor den Hügeln war ich bereitet.
Er hatte die Erde noch nicht gemacht, und was dran ist, noch die Berge des Erdbodens.
Da er die Himmel bereitete, war ich daselbst; da er die Tiefe mit seinem Ziel verfasste,
da er die Wolken droben festete, da er festigte die Brunnen der Tiefe,
da er dem Meer das Ziel setzte und den Wassern, dass sie nicht
übergehen seinen Befehl, da er den Grund der Erde legte:
da war ich der Werkmeister bei ihm und hatte meine Lust täglich und spielte vor ihm allezeit
und spielte auf seinem Erdboden; und meine Lust ist bei den Menschenkindern.
Sprüche Salomon Kap. 8, 23 – 31
Der Werkmeister, von dem Salomon spricht, nennt er Weisheit (Sophia) und war weiblich. Eine weibliche Gottheit, verborgen in der jüdischen Tradition, die dafür bekannt ist, dass sie nur einen männlichen Gott zulässt. Viele andere religiöse Traditionen kannten weibliche Gottheiten, etwa die Ägypter (Isis), die Germanen, Inder, Griechen und Römer mit ihren zahllosen weiblichen Gottheiten sind bekannt. In Platons Timaios-Dialog taucht sie als Weltseele auf und gestaltet die Seele der Welt in Form einer Ziffernreihe, die als Tonleiter interpretiert wird.
Logarithmische Spiralen lassen sich durch alle möglichen Formen annähern. Im Bild oben etwa durch Quadrate. Diese werden um einen festen Winkel gedreht und um einen festen Prozentsatz verkleinert. Auf diese Weise entstehen sehr reizvolle Geometrien.
Frame bilden ebenso logarithmische Spiralen, wenn sie sich im Frühjahr entfalten. Sie rollen sich nicht nur aus, sondern gleichzeitig wachsen sie in ihrer Dicke. Weiter innen befinden sich die jüngeren und dünneren Teile, außen die älteren und dickeren. Gleichzeitig rollen sie sich aus. Im Bild oben habe ich links die Spirale und ihre mathematischen Parameter angegeben. Die Steigung dieser Spirale beträgt etwa k = -0,13.
Warum bilden junge Pflanzen logarithmische Spiralen aus? (Logistisches Wachstum)
Eigentlich unterliegt das Wachstum zwei diametral entgegengesetzten Phasen. Am Anfang wächst eine Pflanze exponentiell, d.h. sie legt in gleichen Zeiten um x Prozent ihrer Größe zu (Exponentialfunktion). Ginge das Wachstum so weiter, dann hätten wir Pflanzen, die bis zum Mond wachsen. Daher nimmt das Wachstum zu einem bestimmten Zeitpunkt wieder ab, bis sie ihre der Art entsprechen Größe erreicht hat. Dann wächst sie nur noch minimal oder gar nicht mehr. Schließlich besitzt jede Pflanze eine Lebensspanne und sie stirbt irgendwann ab. Dieses Wachstum wird durch die logistische Funktion beschrieben, (Logistisches Wachstum). Nur in der Frühphase ihrer Lebensspanne wachsen Pflanzen exponentiell und wenn sie überhaupt Spiralen ausbilden, wie z. B. die Farne, dann sind das bei den jungen Pflanzen eben annähernd logarithmische Spiralen. Rollen sie sich weiter aus, dann verlieren sie ihr mathematisches Korsett und es sind dann einfach nur spiralen, ohne streng mathematische Form. Die Art des logistischen Wachstums trifft auf vieles zu, etwa:
- Wachstum von Hefekulturen
- Bevölkerungswachstum in einem Land
- Ausbreitung einer Infektionskrankheit
Auch die Innenohrschnecke (Human Cochlea) bildet eine logarithmische Spirale aus. Das Bild stammt aus einer Computertomographie (CT-Scan). Die Bildquelle: CSI-Computerizes Scanner ans Image Facility.
Was ist mit Galaxien, bilden sie logarithmische Spiralen aus?
Wir wissen über die Bildung von Galaxien noch viel zu wenig, um sagen zu können, welche Formen sie ausbilden. Die bisher bekannte Theorie der Galaxienbildung zeigt jedoch dass es KEINE logarithmischen Spiralen sind, denn die Dichtewellen am Rand der Galaxien schmiegen sich der Kreis- bzw. der Ellipsenform an. Das tun logarithmische Spiralen nicht, denn bei ihnen ist der Winkel zum Zentrumsstrahl konstant.
Die im Bild oben gezeigte Spirale ist keine logarithmische Spirale. Das zeigt der Exponent im Exponenten. Die Gleichung für die Druckwellen innerhalb von Galaxien ist eine Exponentialgleichung mit sehr kompliziertem Exponenten.
Zu bedenken ist, dass wir heute noch zu wenig über den Stoff wissen, in dem sich Galaxien bilden. Dieser Stoff heißt: DUNKLE MATERIE.
Noch einige Kunstobjekte, die allesamt logarithmische Spiralen annähern. Die Skizzen dazu finden sich in Hermann Baravalle’s Werk: Geometrie als Sprache der Formen, Novalis Verl.; Freiburg; 1957.
Die Harmonik der logarithmischen Spiralen
Das folgende Bild zeigt, wie die Grafiken zustande kommen. Hier wird eine logarithmische Spirale durch drehen und verkleinern eines Quadrates angenähert. Wir haben es also mit einer geometrischen Näherungsmethode zutun.
Die Steigungswinkel solcher Spiralen schmiegen sich jedoch nicht an das jeweilige Polygon an, sondern die Eckpunkte bilden lediglich Stützpunkte der Spiralen. Je mehr Polygone als Näherung verwendet werden, umso enger liegt die Spirale an. Erst unendlich viele Polygone bilden eine logarithmische Spirale mit einem Steigungswinkel, der dem des Polygons entspricht. Im folgenden Bild kann man in der Tabelle sehen, je mehr Polygone zur Näherung verwendet werden (10, 100, 1000, 10.000 Polygone), umso besser schmiegt sich die Spirale an das Dreieck an und nähert sich dem Steigungswinkel von 30°, (Die Ergebnisse wurden gerechnet).
Auf diese Weise könnte man die typischen Winkel der regelmäßigen Polygone als Grenzfall dieser Näherungsmethode für logarithmische Spiralen und ihrer Steigungen ansehen. Die typischen Winkel bilden aber Proportionen, wie sie für die regelmäßigen Polygone typisch sind und schon von Johannes Kepler als Analogie für die Intervalle unserer Musik angegeben sind.
Die Steigungswinkel entsprechen nun denen des Polygons mit dem die jeweiligen logarithmischen Spiralen angenähert wurden und diese Winkel bilden die Intervalle unserer Musik.
45° : 30° = 3:2, das Frequenzverhältnis des Quint Intervalls, vom C aus C – G.
54° : 30° = 9:5, das Frequenzverhältnis des kleinen Septim Intervalls, vom C aus C – b
60° : 30° = 2:1, das Frequenzverhältnis des Oktav Intervalls, vom C aus C – C‘
54° : 45° = 6:5, das Frequenzverhältnis des kleinen Terz Intervalls, vom C aus C – dis
60° : 45° = 4:3, das Frequenzverhältnis des Quart Intervalls, vom C aus C – F
60° : 54° = 10:9, das Frequenzverhältnis des kleinen Ganztones, etwa D – E
Entsprechend findet man weitere Intervalle mit weiteren Polygonen.
Bewusst sein 