Harmonikale Betrachtungen über die modernen Vorstellungen vom Atom

„Was ist das Weiseste? Zahl“
Hörsprüche des Pythagoras

 

„… Diese ersten Offenbarungen des schöpferischen Willens, die Schwingungen des TONES, bauen nach mathematischen Gesetzen, nach göttlichen Ideen und Gedanken, die ganze Schöpfung auf.“
Elisabeth Haich; Tarot, Die zweiundzwanzig Bewusstseinsstufen des Menschen, J. Fink Verlag, Stuttgart, 1969, S.18

Hat man diese Zitate vor der Entdeckung des Wirkungsquantums durch Max Planck als naive Fantasterei betrachtet, so bilden sie heute die Wirklichkeit ab. Quantisierung und somit die Zahl als ganze Zahl und deren Proportionen, bilden die Grundlage der Welt. Vorsichtiger formuliert sind dies die Modellvorstellungen, mit denen die Quantenphysik seit über einhundert Jahren die Welt des Atoms und somit der Materie abbildet.

Die Quantisierung der Energieniveaus bewirkt auch die Gleichförmigkeit der Natur. Wenn die Bahnen der Elektronen um den Zentralen Atomkern durch die klassische Newtonsche Mechanik beschrieben würden, könnte das Elektron den Kern auf einer Bahn mit beliebigem Radius umkreisen, wenn es nur die geeignete Geschwindigkeit hätte. Ein Elektron könnte dann praktisch immer, wenn es auf einer Bahn um ein Proton gebunden ist, eine andere Geschwindigkeit und einen anderen Bahnradius haben. Jedes mal ergäbe sich folglich eine andere Konfiguration, und jedes Wasserstoffatom wäre anders.
Barrow, John D.; Die Natur der Natur; Rohwolt, Hamburg, 1996; S.234.

Die Bestätigung der als naiv erscheinenden Vorstellung der Pythagoreer, die Welt bestünde aus Zahlen und das Abbild der Schöpfung sei einer schwingende Saite ähnlich, ist das Verdienst der Quantenphysik. Sie begann ziemlich genau gegen Ende des Jahres 1900, setzte also zum Beginn der 20. Jahrhunderts ein.

… seit der berühmten Arbeit von Planck aus dem Jahre 1900 nannte man solche Forderungen Quantenbedingungen. Und diese Bedingungen brachten eben jenes merkwürdige Element von Zahlenmystik in die Atomphysik, von dem vorher schon die Rede war. Gewisse aus der Bahn zu berechnende Größen sollten ganzzahlige Vielfache einer Grundeinheit, nämlich des Planckschen Wirkungsquantums sein. Solche Regeln erinnerten an die Beobachtungen der alten Pythagoreer, nach denen zwei schwingende Saiten dann harmonisch zusammenklingen, wenn bei gleicher Spannung ihre Längen in einem ganzzahligen Verhältnis stehen.
Werner Heisenberg, Der Teil und das Ganze, 8. Aufl., 2010, Piper Verlag, München, S.47

Der Aufbau der Atome


„Erst mithilfe der Quantentheorie kann man den Aufbau der Materie erklären. Die Quantentheorie ist, so könnte man sagen, die mathematische Formulierung des Welle-Teilchen-Dualismus. Auf mathematische Details kann hier nicht eingegangen werden, es sollen nur einige wichtige Grundprinzipien erläutert werden.
Wellen haben immer eine räumliche Ausdehnung; die elementaren Teilchen sind unteilbar, „punktförmig“. Dass diese beiden sich scheinbar widersprechenden Eigenschaften bei Materiewellen und auch beim Licht (Photonen!) miteinander vereinbar sind, ist schwer zu begreifen, aber alle experimentellen Daten deuten darauf hin.
Wir beschreiben also die Elektronen, die sich im Kraftfeld eines Atomkerns befinden (in dem fast die ganze Masse des Atoms vereint ist), als Wellen. Diese Wellenfunktionen sind selbst nicht beobachtbar, sondern Hilfsmittel, um beobachtbare Größen zu berechnen. Insbesondere erhält man aus dem Betragsquadrat der Wellenamplitude die Teilchendichte (Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte).
Das allereinfachste Atom ist das Wasserstoffatom. Der Kern trägt eine positive Elementarladungeinheit und kann daher nur ein Elektron an sich binden. Dessen mögliche Wellenfunktionen lassen sich als Lösungen der Schrödingergleichung noch exakt bestimmen; der Lösungsweg und die Ergebnisse sind in den gängigen Lehrbüchern der Quantenmechanik zu finden. Die mathematischen Details sollen uns hier nicht beschäftigen, sondern es sollen einige allgemeine Eigenschaften von schwingenden Systemen, insbesondere stehenden Wellen, an einfachen Beispielen erläutert werden.
Eigenschwingungen

Die genaue Schwingungsform einer Gitarrensaite hängt davon ab, an welcher Stelle sie gezupft wurde. Man kann die Schwingung immer als Überlagerung von einfacheren Schwingungsformen beschreiben, die sich dadurch auszeichnen, dass alle Teile der Saite eine reine Sinusschwingung mit der gleichen Frequenz ausführen. Diese nennt man Eigenschwingungen, und die Überlagerung verschiedener Eigenschwingungen äußert sich akustisch als Überlagerung von Grundton und Obertönen.
Das Bild unten zeigt das Aussehen von Grund-, erster und zweiter Oberschwingung einer Saite. Die Bewegung erfolgt so schnell, dass das Auge sie nicht auflösen kann; man sieht eine Abfolge von Schwingungsbäuchen und -knoten.

Grundton
1. Oberton
2. Oberton

An einfachen Saiten sind wichtige Eigenschaften der dreidimensionalen Wellen noch nicht zu beobachten; an schwingenden Membranen kann man schon mehr sehen. Statt Knoten treten hier bei den höheren Eigenschwingungen Knotenlinien auf. Bei schwingenden Platten sind diese als Chladnische Klangfiguren aus Schulversuchen bekannt.“
Quelle: https://www.itp.uni-hannover.de/~zawischa/ITP/atome.html

Der Harmonische Oszilator im Potentialfeld eines Atomkerns, zeigt die Obertonreihe, wie sie etwa auch an einer schwingenden Saite erscheint.


http://www.ipf.uni-stuttgart.de/lehre/on…ipt/f20_04.html

Das Atom darf gewiss als eines der Grundbausteine der Schöpfung angesehen werden. Das Atom kann in seiner Struktur vereinfacht, aus drei Teilen bestehend angesehen werden. Der Atomkern besteht aus Protonen und Neutronen, die Atomschale aus Elektronen. Diese Anschauung entspringt aber viel eher menschlichen Kategorien, etwa dem Wunsch, sich das Atom, bestehend aus Teilen eines Baukastens zu denken.
Die Vorstellung von einem Teilchen wird jäh gestört, wenn wir erfahren, das Elektron als Teilchen existiert nicht mehr, wenn es im Atom schwingt. Es wurde zur gestaltwirkenden Kraft, an der man die Form, nicht aber die wirkende Kraft erkennt. Ist es nicht der Begriff des Teilchens, das sich um den Atomkern bewegt, der nun zu noch schwierigeren Begrifflichkeiten zwingt. Die Physik spricht von einem Raum, in dem das Elektron eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit besitzt, und nennt die Elektronenbahn nun Orbital. Orbit (lat. orbita ‚Bahn‘) meint wörtlich eine Bahn. Was wir uns aber nun mit dem Wechsel in die lateinische Sprache vorzustellen haben, sind Räume, in denen das Elektron schwingt, in dem es als Teilchen eine Wahrscheinlichkeit besitzt, mit dem wir es etwa an definierten Orten auffinden.
Diese Orbitalräume werden aber wieder durch nichts Weiter, als durch Sinusfunktionen definiert. Diese Funktionen werden nur in Polarkoordinaten geschrieben. Schreibt man sie in ein kartesisches Koordinatensystem, so sind es sinusförmige Schwingungen. Orbitale gleichen einer schwingenden Saite mehr als einem Teilchen, das sich um den Atomkern bewegt. Hinzu kommt, dass die Größenproportionen der Orbitale im Wasserstoffatom einfachen Proportionen entsprechen, wie wir als Intervalle in der Musik verwenden.

Wenn die Pythagoreer vor zweieinhalbtausend Jahren das Monochord und die schwingende Saite in ihre philosophischen Betrachtungen einbezogen, so waren sie der modernen Physik näher als jede andere Vorstellung von den Grundstrukturen unserer Welt.

Aber auch die bloße Betrachtung der Quantenzahlen ist wieder zutiefst pythagoreisch.

Die Reihenfolge der Besetzung der Energieniveaus im Atom zeigt eine typisch harmonikale Zahlenreihe:

Den blauen Pfeilen folgend erscheinen die Intervalle
1s Grundton (Frequenzverhältnis 1:1)
2s Oktavton (Frequenzverhältnis 2:1)
(2p, 3s) Frequenzverhältnis einer Quinte (Frequenzverhältnis 2:3)
(3p, 4s) Quarte (Frequenzverhältnis 3:4)
(3d, 4p, 5s) Quart-Sext-Akkord (Frequenzverhältnis 3:4:5)
(4d, 5p, 6s) Dur-Dreiklang. Leiterneigen z.B. C-E-G, F-A-C, usw.
(5f, 6s) kleine Terz (Frequenzverhältnis 5:6)

Die Zahlen sind die Energieniveaus der Elektronenschalen, bzw. die Spannungen/Längen an einer schwingenden Saite.
Die Buchstaben sind Formfaktoren für die Orbitale, s, p, d, f, usw.

Die Vorstellung vom Elektron als reine schwingende Energie ist ebenso falsch, wie die von einem bewegten Teilchen. Das zeigt der folgene Aufsatz von Von Martin Kaupp in der Zeitschrift Spektrum: www.spektrum.de

„Die Bewegung eines Elektrons ist vielmehr durch seine quantenmechanische Wellenfunktion bestimmt, die keine genauen Ortskoordinaten zu einem gegebenen Zeitpunkt liefert.
Ihr Quadrat ergibt lediglich Wahrscheinlichkeiten dafür, dass sich das Teilchen jeweils an einem bestimmten Punkt befindet. An die Stelle der Bahnen sind deshalb heute so benannte Orbitale getreten. Sie entsprechen dem Raumbereich, in dem sich das Elektron mit hoher Wahrscheinlichkeit aufhält (der genaue Wert variiert je nach Darstellung
zwischen 50 und 99 Prozent).“
Quelle:
www.spektrum.de/pdf/sdw-05-12-s090-pdf/833351?file

Diese Aussage verführt zu dem laienhaften Schluss, das Elektron im Atom sei kein Teilchen mehr. Auch das ist falsch! Es gibt relativistische Effekte im Atom, die sich nur erklären lassen, wenn man mit einer bewegten Masse rechnet.

„Direkte relativistische Eff ekte sind deshalb bei s-Elektronen am ausgeprägtesten. Durch Massen-Geschwindigkeits-Kontraktion verringert sich ihr mittlerer Abstand vom Kern, was die wechselseitige elektrostatische Anziehung erhöht.“
Quelle:
www.spektrum.de/pdf/sdw-05-12-s090-pdf/833351?file

Auch hier nähert sich das Modell von einer schwingenden Saite der Wirklichkeit schwingender Elektronen heuristisch[1] an, denn eine schwingende Saite bleibt immer auch massebehaftet. Diese Masse betrachtet man nicht, wenn man die bloße Abhängigkeit zwischen Saitenlänge und Frequenz betrachtet. Die Masse ist aber vorhanden und sie stört da und dort die reine Lehre vom Verhältnis zwischen Frequenz und Saitenlänge.

Die tiefer greifende Frage nach dem Teilchen-Welle-Dualismus ist an dieser Stelle erneut aufgeworfen. Sie bleibt bis heute ein Zen-Koan[2]

Albert EINSTEIN (1879-1955):
1917 – Den Rest meines Lebens werde ich darüber nachdenken, was Licht ist!
1951 – Fünfzig Jahre intensiven Nachdenkens haben mich der Antwort „Was ist Licht?“ nicht näher gebracht.
In einem Brief an Max Born über die Wahrscheinlichkeitsaussagen der Quantenphysik: „Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten (Gott) bringt sie uns doch nicht näher. Jedenfalls bin ich überzeugt davon, dass der nicht würfelt.“

 

Richard FEYNMAN (1918 – 1988)
„Ich denke, ich kann davon ausgehen, dass niemand die Quantenmechanik versteht.“
„Es gab eine Zeit, als Zeitungen sagten, nur zwölf Menschen verständen die Relativitätstheorie. Ich glaube nicht, dass es jemals eine solche Zeit gab. Auf der anderen Seite denke ich, es ist sicher zu sagen, niemand versteht Quantenmechanik.“

 

Max BORN (1882 – 1970)
Der Nobelpreisträger Born schreibt in einem Brief an Einstein: „Die Quanten sind doch eine hoffnungslose Schweinerei.“

 

Niels BOHR (1885 – 1962)
„Wenn mir Einstein ein Radiotelegramm schickt, er habe nun die Teilchennatur des Lichtes endgültig bewiesen, so kommt das Telegramm nur an, weil das Licht eine Welle ist.“

Zitate aus: http://www.leifiphysik.de/quantenphysik/…lchen-dualismus

Frank Wilczek; 2004, Nobellpreis für Physik
Das rätselhafte Elektron, Spektrum.de

Heute führen wir Bohrs Postulate auf die Tatsache zurück, dass die richtige quantenmechanische Beschreibung von Elektronen auf Wellenfunktionen beruht, die Schwingungsmuster von stehenden Wellen beschreiben. Die Gleichungen für Elektronen in Atomen ähneln denen für Schwingungen in Musikinstrumenten, die verschiedene Töne hervorrufen.

Quelle: http://www.spektrum.de/kolumne/das-raets…lektron/1198794

 

Aufallend ist die vierheitliche Struktur des Atoms

Tetraktys der Pythagoreer im Atom

Zu beachten ist, dass nur Orbitale der Formen s, p, d, f stabil sind und in realen Atomen vorkommen. Die reine pythagoreische Lehre kommt hier zum Vorschein. Tetraktys (Vierzahl, Vierheit) war ihnen heilig. Tetraktys galt ihnen als

„Quell der immer fließenden Natur“.
Pythagoras

Tetraktys, ein Fresko von Raffael

In der Tat sind die Quantenzahlen ein Ausdruck von Tetraktys (Vierheit, Vierzahl). Es sind vier Orbitalformen, welche in der Natur stabil sind, s, p, d, f. Die maximale Besetzung der Energieniveaus im Atom sind die doppelten Quadrate der vier ersten Zahlen

(2 x 1, 2 x 4, 2 x 9, 2 x 16)

Aus Gründen energetischer Stablilität nimmt die maximale Elektronenzahl mit der vierten Schale wieder ab. Es gibt vier Quantenzahlen, welche das Atom beschreiben.
– Die Hauptquantenzahl
– Die Nebenquantenzahl (früher s, p, d, f, heute l = {1, 2, 3, 4})
– Die Drehimpulsquantenzahl, auch Magnetquantenzahl genannt ist eine Richtungsquantelung
– Die Spinquantenzahl (von engl. Spin, Drehen)
Siehe auch: Zahl-Seele-Kosmos

Lösungen der Schrödingergleichungen

„Die Gleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger (1887–1961) zuerst als Wellengleichung aufgestellt. … Die Schrödingergleichung bildet das Fundament für fast alle praktischen Anwendungen der Quantenmechanik. Seit 1926 gelang mit ihr die Erklärung vieler Eigenschaften von Atomen und Molekülen (bei denen die Elektronenwellenfunktionen als Orbitale bezeichnet werden) sowie von Festkörpern (Bändermodell)“
Wikipedia/Schrödingergleichung

Die Lösungstabelle für das Wasserstoffatom weist in seiner Struktur wesentliche Merkmale der Harmonik auf.

Schrödingerlösungen

Die Nebenquantenzahlen l={0,1,2,3} (früher s, p, d, f) stellen die Fromfaktoren der Aufenthaltsräume (Orbitale) der Elektronen dar. Die pythagoreische Vierzahl, Tetraktys ist also strukturgebend.

In den einzelnen Feldern der Tabelle stehen die Wellengleichungen für die Grundformen der Orbitale in Polarkoordinaten. Die Kombination zwischen der Nebenquantenzahl l und der Magnetquantenzahl m bestimmen die Formen. Den Gleichungen anzusehen sind typische Zahlengrößen (1,3,5,7), die sich bei der Darstellung als Größenbestimmend erweisen.

Lösungen der Schrödingergleichungen

Die maximalen Ausdehnungen und deren Proportionen – Elektronenorbitale haben keine absoluten Größen. Sie sind theoretisch unendlich ausgedehnt, mit abnehmender Aufenthaltswahrscheinlichkeit – sind:

1(S Orbital) : 3 (p-Orbital) :5 (d-Orbital) :7 (f-Orbital)

1:3:5:7, diese ersten Primzahlen sind auch strukturgebend in der Musik.

Die Pentatonik: 1:3 ist die Frequenzproportion der Dudezime (Oktavintervall + Quintinervall). In diesem Intervallen bewegt sich die Pentatonik.

Das Quinten-Terzen-System: 1:3:5 sind die Frequenzproportionen von Duodezime und großer Sexte (3:5). Mit der großen Sexte kommt das Terzintervall ins Spiel. Wir bewegen uns in Quinten-Terzen-System der Musik, die sich mit der Renaissance durchsetzte.

Jazz, Blues die neue Musik: Die Naturseptime: mit 5:7 (Tritonus) ist die Frequenzproportion der Naturseptime gegeben. Mit ihr kommt eine völlig neue Qualität in die Musik, die sich langsam im Jazz und Blues und neuen Formen der Musik durchsetz.

Die einzelnen maximalausdehnungen der Orbitalformen bieten allesamt harmonikale Proportionen. Proportionen also, die als Intervalle unserer Musik vorkommen.

Das f-Orbital

enthält eine exotische Tonleiter.

f-Orbital

Die Frequenzproportion 15:16, ein großer diatonischer Halbton, z.B. h – c‘.

Die Frequenzproportion 3:5,eine große Sexte, z.B. c – a.

Die Frequenzproportion 27:40, eine übermäßige Quinte, z.B. d – a
Die griechische Musik auf ihre Grundgesetze zurückgeführt:

Die Frequenzproportion 135:256 verminderte Große Septime, z.B. e – dis
Encyclopädie der gesammten musikalischen Wissenschaften, Band 6

So wie die Elemente, die seltenen Erden, vom f-Orbital bestimmt sind, sind auch die Intervalle des f-Orbitals selten und exotisch, befinden sich jedoch alle innerhalb der diatonischen Tonleiter.

Das d-Orbital

bildet gängige und bekannte Intervalle ab.

p-Orbital

Das s-Orbital bildet den Referenzton c = 1. Relativ dazu bilden die Maximalausdehnungen des p-Orbitals die Intervall.

5:4 (große Terz),

1:3 (Duodezime, Oktave + Quinte),

3:4 (Quartintervall.

Mit dem Intervall der großen Terz (Frequenzverhältnis 5:4) tritt die Musik in die Welt von Dur (Frequenzverhältnis 4:5:6) und Moll (Frequenzverhältnis 1/4:1/5:1/6) ein. Die Fünf ist jeweils chrakteristische Kennzahl.
Das d-Orbital gibt der Welt der Metalle ihren Charakter. Viele organische- und komplex – Verbindungen enthalten Metalle, wie etwa das Hämoglobin (Blutfarbstoff) und das Chlorophyll der Pflanzen.

Das p-orbital

Hier wird die Welt noch einfacher.

p-Orbital

Das p-Orbital weist das Intervall der Duodezime (Oktave + Quinte) auf. Musikalisch befinden wir uns in der Pentatonik. Chemisch in der Welt der Nichtmetalle und der anorganischen Chemie. Das s-Orbital ist kugelförmig und bildet den Grundton mit der Proportion 1:1. Es wurde als gelber Kreis mit dem Radius 1 dargestellt.

Alle Formen wurden mit den oben angegebenen Lösungen der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom gezeichnet. Das Wasserstoffatom ist das häufigste Element im Kosmos. Die Grundformen der Orbitale verändern sich sowohl bei höheren Energien wie auch in Verbindungen. Es gibt dazu jedoch keine einheitlichen mathematischen Lösungen mehr. Die hier abgebildeten Formen sind die Ur-Ideen, die unser Kosmos hervorgebracht hat und die in unendlichen Variationen in der Natur vorliegen.

Diese Ur-Ideen sind im Kosmos als Orbitalformen angelegt, wie sie im Menschen als Intervallempfinden angelegt sind. Beide haben eine Quelle. Einfache auf ganzen Zahlen beruhende Proportionen, denn:

Was ist das Weiseste? Zahl
Pythagoras

Zahlen sind nach C.G. Jung ein Ordnungsprinzip. Kant sieht in der Zahl den Ursprung des kausalen Denkens.

 

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